Beta函数与Gamma函数
Beta 函数和 Gamma函数也被称为 Euler 第一积分和Euler 第二积分，这里的积分是指含参变量反常积分。别看含参变量反常积分是以积分命名，但其本质上是一个函数，我把 Beta 函数和 Gamma函数的数学表达式写出来，大家就明白了。
\[\begin{align} B(p,q)&=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx \\ \Gamma(s)&=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx \end{align}\]
从数学表达式中，我们可以看出来，Beta 函数是一个二元函数，Gamma 函数是一个一元函数。那这两个函数能有什么用及其特点呢？我认为大概有以下几点
Beta函数的对称性
作为一个函数，我们要研究其的连续性、可导性、可积性等特点，在这里我主要说一些我感兴趣的关于 Beta 函数的性质。
Beta 函数和 Gamma函数的特性结论很多都是通过变量代换的方法得出来的，其中 Beta 函数的对称性也不例外，通过更换两个自变量的位置得出来的函数值一样。
\[ B(p,q)=B(q,p) \]
Gamma函数可以作为阶乘的具象表达
我们都知道阶乘是怎么来的，比如说我们定义一个函数能展示阶乘的结果：
\[ NF(n+1)=n! \]
如果用计算机来表达这个函数来讲的话，是非常容易的。但是如果我想换一种方式，通过具体的函数，比如三角函数，指数函数和幂函数等形式来表达，那么仅仅通过上面的函数形式是看不出来的，这里 恰巧由于 Gamma函数的递推性，且 \(\displaystyle \Gamma(1)=1\), 则推出
\[ \Gamma(n+1)=n! \]
这里面其实不仅仅是正整数，带别的分数、负数和无理数都可以。总体来说，Gamma 函数不仅可以作为阶乘的具象表达，而且可以更加宽阔得带入其他数。
Beta 函数和 Gamma函数可以用来解决积分计算问题
其实我学习 Beta 函数和 Gamma函数以及含参变量积分这部分内容最大的体会是函数不仅只有一种形式，它可以有多种形式。同一个函数可以用含参变量反常积分、函数项级数、正常的三角函数、指数函数、幂函数等形式来表示。其中是如何从一个形式转变成另外一个形式呢？主要通过变量代换的方法，下面我给大家展示出 Beta 函数和 Gamma 函数的其他形式。
\[\begin{align} B(p,q) &= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\phi\sin^{2q-1}\phi d\phi \\ &= \int_{0}^{1}\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}dt \end{align}\]
\[\begin{align} \Gamma(s)&=2\int_{0}^{+\infty}t^{2s-1}e^{-t^{2}}dt. \\ &= \alpha^{s}\int_{0}^{+\infty}t^{s-1}e^{-\alpha t}dt. (其中 \alpha >0) \end{align}\]
这里举一个例子，比如让我们计算 \(\displaystyle I = \int_{0}^{+\infty}x^{2n}e^{-x^{2}}dx\),这时我们就带入 Gamma 函数的表达式，就能得到 \(\displaystyle I=\frac{2n-1}{2^{2}}\Gamma(n-1+\frac{1}{2})\),在此基础上还可以用递推公式得到 \(\displaystyle I = \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}.\)
Beta函数和 Gamma函数的关系
从数学表达式上来看，两者具有以下关系：
\[ B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}, \quad p>0,q>0. \]
题外话
通过上面的总结，我们应该明确理解一点，那就是 Beta 函数和 Gamma函数是含参变量反常积分。这里我想提一嘴，含参变量反常积分作为函数，也有类似于阶乘函数的效果。
我们知道符号函数是一个分段函数，如下表示
\[ \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0 \end{cases} \]
通过分段函数的形式我们可以知道函数的图像，但是不能了解其具体的构造。这里有一个含参变量反常积分，可以起到一样的效果（函数图像都一样），但是可以具象表达分段函数长什么样。
\[ sgn(x)= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin xt}{t}dt. \]
关于 Gamma函数还有一个余元公式，如下
\[ \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin(\pi s)}, \quad 0<s<1. \]
目前据我所知，这个余元公式在求解积分上有很牛的应用，但是如果你学会了余元公式，你可以跟他人说，我的数学水平是达到了能看懂姜萍黑板上内容的水平。
